Ángulos de elevación y depresión

Frecuentemente resulta inconveniente o imposible medir distancias o ángulos directamente. Un ingeniero, un topógrafo, un astrónomo y un agrimensor, por ejemplo, cuando halla la altura de una colina o el curso exacto de un túnel en construcción, o la posición y la distancia entre dos estrellas, emplea ciertos instrumentos para medir indirectamente ángulos y distancias correspondientes a puntos inaccesibles, y luego aplica los principios básicos de trigonometría.

Ejemplo:

h = ?
d = 30 m
o = 40°









Para medir la altura h de un edificio, utilizamos las tablas trigonométricas o la calculadora científica y, la razón trigonométrica tan , esto es,

tan = tan 40° =

Luego, tan 40° = 0, 839099631… entonces,

h = 30 tan 40° h = 25,17 m

La altura del edificio es 25,17 m aproximadamente

Ejemplo:

Un faro tiene una altura que mide 55 m. El ángulo de depresión desde la cima del faro hasta el barco en el mar es de 72°.
¿Qué tan lejos de la base del faro está el barco?
Si x representa a la distancia, entonces:
tan 72° = x =
Luego, tan 72° = 3,077683537… por tanto, x = 17, 87 m


* La distancia aproximada entre el barco y la base de la torre es de 17,87 m.
Ejemplo:Una grúa que mide 2,5 m de alto; forma un ángulo de elevación de 21° con su palanca. El piso es horizontal. La grúa se encuentra a 100 m de la recta perpendicular a la palanca. Determinemos la medida de la altura desde el suelo hasta el punto más alto de la palanca.

tan 21° = x = 100 tan 21° para hallar la longitud de x

Luego, tan 21° = 0, 383864035… por tanto, x = 38, 38 m


h = altura de la grúa + x h = 2, 5 + 38, 38 para hallar la longitud de h

Por tanto, h = 40, 88 m

EJERCICIOS PROPUESTOS

Ejercicios:

1. El edificio más alto del mundo es la torre SEARS ubicada en la ciudad de Chicago, Illinois, E.U.A. Proyecta una sombra de 950 m cuándo el ángulo de elevación de los rayos solares es de 25°, ¿Cuál es la altura del edificio?

2. En la ciudad de Paris, Francia, se encuentra la torre Eiffel. En 1959 se instalo en lo alto de dicha torre una antena para radio y televisión de 20, 24 m de altura. Cuando el ángulo de elevación de los rayos solares es de 55°, la sombra proyectada por el conjunto es de 224, 61 m. ¿Cuál era la altura original de la torre Eiffel?

3. Determinar la medida de la altura de un edificio, sabiendo que cuando los rayos del sol forman un ángulo de depresión de 60° con dicho edificio, su sombra proyectada sobre el piso horizontal mide 60 m

4. El ángulo de elevación de un barco a la Cúspide de un faro de 50 m de alto, situado en la costa, mide 13°. ¿Qué tan lejos de la costa se encuentra el barco?

5. Un árbol proyecta una sombra de 6 m de longitud, cuando el ángulo de elevación de los rayos del sol mide 60°. ¿Qué tan alto es el árbol?